来自：查字典高考网 2009-08-31
三角函数与反三角函数，是五种基本初等函数中的两种，在现代科学的很多领域中有着广泛的应用．同时它也是高考、数学竞赛中的必考内容之一．
一、三角函数的性质及应用
三角函数的性质大体包括：定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、最值等．这里以单调性为最难．它们在平面几何、立体几何、解析几何、复数等分支中均有广泛的应用．
【例1】求函数y=2sin(-2x)的单调增区间。
解：y=2sin(-2x)=2sin(2x+)。
由2k2x++，kZ，
得kx-，kZ。
即原函数的单调增区间为：[k-，k-]（kZ）。
【例2】若（0，），比较sin(cos)，cos(sin)，cos这三者之间的大小。
解：∵在（0，）中，sinxtgx，而01，sin(coscos。
∵在（0，）中，y=cosx单调递减，coscos(sin)。
sin(coscoscos(sin)。
【例3】已知x,y[-，]，aR，且。求cos(x+2y)的值。
解：原方程组化为。
∵x,-2y[-，]，函数f(t)=t3+sint在[-，]上单调递增，且f(x)=f(-2y)
x=2y，cos(x+2y)=1。
【例4】求证：在区间（0，）内存在唯一的两个数c、d(c＜d)，使得sin（cosc）＝c，cos（sind）＝d．
证明：考虑函数f（x）＝cos（sinx）－x，在区间[0，]内是单调递减的，并且连续，由于f（0）＝cos（sin0）－0=10，f（）＝cos（sin）－=cos1－0，
存在唯一的d（0，），使f（d）＝0，即cos（sind）＝d．
对上式两边取正弦，并令c=sind，有sin（cos（sind））=sind，sin（cosc）=c。
显然c（0，）。且由y=sinx在（0，）上的单调性和d的唯一性，知c也唯一。
故存在唯一的c＜d，使命题成立。
【例5】、、（0，），且ctg=，sin(ctg)=，ctg(sin)=。比较、、的大小。
解：∵、、（0，），ctg0，0sin。
=sin(ctgctg，=ctg(sinctg。
作出函数y=ctgx在（0，）上的图象，可看出：。
【例6】nN，n2，求证：coscoscos。
证明：∵01，
0，cos2=1-sin21-=，k=2，3，，n。
(coscoscos)2()()()()
=()2，
coscoscos。
二、三角恒等变换
众多的三角公式，构成了丰富多彩的三角学。要灵活地进行三角恒等变换，除熟练地掌握三角公式以及一般的代数变形技巧外，更重要的是抓住三角式的结构特征，从角和函数名入手，深入分析，灵活解题。
【例1】（1）已知cos=-，sin(+)=，且0，求sin的值。
（2）已知sin(-)=，求的值。
提示：（1）sin=。
（2）sin2=1-2sin2(-)=；=。
【说明】三角变换重在角的变换。
【例2】求coscoscoscos的值。
解法1：利用公式coscos2cos4cos2n=，得
coscoscoscos=-，coscoscoscos=。
又coscos=，cos=，
coscoscoscos==。
解法2：coscoscoscos
=
==。
解法3：利用公式coscos(+)cos(-)=cos3，取=、。
【例3】求cos420+cos440+cos480的值。
解：由倍角公式得
cos4=()2=(1+2cos2+cos22)=+cos2+cos4，
cos420+cos440+cos480=3+(cos40+cos80+cos160)
+(cos80+cos160+cos320)=+(cos40+cos80+cos160)
=+(2cos60cos20-cos20)=。
【例4】若sin+cos=，cos+sin=，求sincos的值。
解：令=-，则
(1)(2)得tg=，cos(+)=，
sincos=sinsin=-[cos(+)+cos(-)]=-。
【例5】已知f(x)=sin(x+)+cos(x-)是偶函数，0，求。
解法一：由偶函数的定义，可得(cos+sin)sinx=0对任意xR成立。
cos+sin=0，2sin(+)=0，
+=k，而0，=。
解法二：由f(-)=f()，得=，然后验证f(x)是偶函数。
【例7】方程sinx+cosx+a=0在（0，2）内有相异两根、，求实数a的取值范围，以及+的值。
解：∵sinx+cosx+a=0，sin(x+)=-。
令t=x+，则t(，)，sint=-。
作出函数y=sint，t(,)的图象：
由图象可以看出：当-11且-即-2-或-2时，sint=-有相异两根t1、t2，原方程有相异两根、，并且
当-2-时，t1+t2=(+)+(+)=，+=；
当-2时，t1+t2=(+)+(+)=3，+=。
【例8】已知sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0，求s=tg(x+y+z)+tgxtgytgz的值。
解：由已知得，
(1)2+(2)2得cos(x-y)=-，
同理，cos(y-z)=-，cos(z-x)=-。
x，y，z中任意两角的终边夹角为，不妨设
x=y++2mZ，y=z++2nZ，
x=z++2(m+n)，
x+y+z=3z+2(m+2n+1)，
s=tg(x+y+z)+tgxtgytgz
=tg3z+tg(z+)tg(z+)tgz
=tg3z+tg(z+)tg(z-)tgz
=tg3z+tgztg(+z)tg(-z)
=0。
【说明】如能熟练运用下列公式，可对解题带来很大方便：
sinsin(+)sin(-)=sin3，
coscos(+)cos(-)=cos3，
tgtg(+)tg(-)=tg3。
如sin10sin50sin70=sin(310)=。
【竞赛讲座－平面三角】相关文章：
★ 因式分解
★ 2001年AMC8（全美中学数学分级能力测验8年级）试题及答案
★ 高阶等差数列
★ 不等式
★ 2000中国数学奥林匹克（第十五届全国中学生数学冬令营）
[标签：讲座,公益讲座,竞赛]
乾坤已定，组合解读2019高考数学全国3卷理科18题，你是黑马吗？
沈阳音乐学院郎亦农教授的女高音高考曲目解析课程 第9集 《赛吾里麦》演唱讲解，音乐表现一定要自然流畅
加油吧考生：2019高考咨询大直播 第43集 科学填报志愿 规划精彩人生
张雪峰高考志愿填报指南 第47集 高考志愿，令人头疼的数学系，才是专业万金油，毕业后机会多
张雪峰高考志愿填报指南 第15集 高考填报志愿，想学电子信息类专业，推荐报这六所高校，不出错
NBA流言收割机 第6集 神预测？高考数学试题暗示猛龙勇士4
张雪峰高考志愿填报指南 第28集 高考志愿分析，材料科学与工程专业，就业很一般，建议慎重选择
高考体育四项生的日常训练——深蹲移动跳：发展膝关节，踝关节力量。
高考阅卷名师给考生的高考作文密训课 第4集 高考作文审题实操方法精讲（二）
爆笑班主任 第一季 第221集 高考结束学生有多疯狂？山东王老师疯狂吐槽
创艺第二届：2019届高考录取表彰大会暨“核桃音乐节”合影——你只管努力，剩下的交给创艺
amc传媒音乐影像 第一季 第598集 西安原创乐队走进英泰青卓 用音乐助力高考学子
探秘历史 第二季 第479集 河南叛逆高考生，写下8000字批判作文，现状如何？
你高考成绩高吗？这道题目怎能成立？高难度奥数，能不能把你难住
