来自:查字典高考网 2009-08-31
【竞赛知识点拨】
1. 线段或角相等的证明
(1) 利用全等△或相似多边形;
(2) 利用等腰△;
(3) 利用平行四边形;
(4) 利用等量代换;
(5) 利用平行线的性质或利用比例关系
(6) 利用圆中的等量关系等。
2. 线段或角的和差倍分的证明
(1) 转化为相等问题。如要证明a=bc,可以先作出线段p=bc,再去证明a=p,即所谓截长补短,角的问题仿此进行。
(2) 直接用已知的定理。例如:中位线定理,Rt△斜边上的中线等于斜边的一半;△的外角等于不相邻的内角之和;圆周角等于同弧所对圆心角的一半等等。
3. 两线平行与垂直的证明
(1) 利用两线平行与垂直的判定定理。
(2) 利用平行四边形的性质可证明平行;利用等腰△的三线合一可证明垂直。
(3) 利用比例关系可证明平行;利用勾股定理的逆定理可证明垂直等。
【竞赛例题剖析】
【例1】从⊙O外一点P向圆引两条切线PA、PB和割线PCD。从A点作弦AE平行于CD,连结BE交CD于F。求证:BE平分CD。
【分析1】构造两个全等△。
连结ED、AC、AF。
CF=DF△ACF≌△EDF

PAB=AEB=PFB
【分析2】利用圆中的等量关系。连结OF、OP、OB。


PFB=POB

注:连结OP、OA、OF,证明A、O、F、P四点共圆亦可。
【例2】
△ABC内接于⊙O,P是弧 AB上的一点,过P作OA、OB的垂线,与AC、BC分别交于S、T,AB交于M、N。求证:PM=MS充要条件是PN=NT。
【分析】只需证
, PMPN=MSNT。
(2,4)△APM∽△PBN
PMPN=AMBN
(BNT=AMS,BTN=MAS)△BNT∽△SMA
MSNT=AMBN
【例3】
已知A为平面上两半径不等的圆O1和O2的一个交点,两外公切线P1P2、Q1Q2分别切两圆于P1、P2、Q1、Q2,M1、M2分别为P1Q1、P2Q2的中点。求证:O1AO2=M1AM2。


【分析】设B为两圆的另一交点,连结并延长BA交P1P2于C,交O1O2于M,则C为P1P2的中点,且P1M1∥CM∥P2M2,故CM为M1M2的中垂线。
在O1M上截取MO3=MO2,则M1AO3=M2AO2。
故只需证O1AM1=O3AM1,即证
。
由△P1O1M1∽P2O2M2,M1O3=M2O2,O1P1=O1A,O2P2=O2A可得。
【例4】在△ABC中,ABAC,A的外角平分线交△ABC的外接圆于D,DEAB于E,求证:AE=
。
【分析】方法1、2AE=AB-AC
在BE上截取EF=AE,只需证BF=AC,连结DC、DB、DF,从而只需证△DBF≌△DCA
DF=DA,DBF=DCA,DFB=DAC
DFA=DAF=DAG。
方法2、延长CA至G,使AG=AE,则只需证BE=CG
连结DG、DC、DB,则只需证△DBE≌△DCG
DE=DG,DBE=DCG,DEB=DGC=Rt。
【例5】ABC的顶点B在⊙O外,BA、BC均与⊙O相交,过BA与圆的交点K引ABC平分线的垂线,交⊙O于P,交BC于M。
求证:线段PM为圆心到ABC平分线距离的2倍。
【分析】若角平分线过O,则P、M重合,PM=0,结论显然成立。
若角平分线不过O,则延长DO至D,使OD=OD,则只需证DD=PM。连结DP、DM,则只需证DMPD为平行四边形。
过O作mPK,则D
D,K
P,DPK=DKP
BL平分ABC,MKBLBL为MK的中垂线DKB=DMK
DPK=DMK,DP∥DM。而D D∥PM,
DMPD为平行四边形。
【例6】
在△ABC中,AP为A的平分线,AM为BC边上的中线,过B作BHAP于H,AM的延长线交BH于Q,求证:PQ∥AB。
【分析】方法1、结合中线和角平分线的性质,考虑用比例证明平行。
倍长中线:延长AM至M,使AM=MA,连结BA,如图6-1。
PQ∥AB



ABQ=180HBA+BAH+CAP)= 180-90CAP=90BAP=ABQ
方法2、结合角平分线和BHAH联想对称知识。
延长BH交AC的延长线于B,如图6-2。则H为BB的中点,因为M为BC的中点,连结HM,则HM∥B/C。延长HM交AB于O,则O为AB的中点。延长MO至M,使OM=OM,连结MA、MB,则AMBM是平行四边形,
MP∥AM,QM∥BM。于是,
,所以PQ∥AB。
【例7】
菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E、F、G、H,在EF与GH上分别作⊙O的切线交AB于M,交BC于N,交CD于P,交DA于Q。
求证:MQ∥NP。(95年全国联赛二试3)
【分析】由AB∥CD知:要证MQ∥NP,只需证AMQ=CPN,
结合C知,只需证△AMQ∽△CPN
,AMCN=AQCP。
连结AC、BD,其交点为内切圆心O。设MN与⊙O切于K,连结OE、OM、OK、ON、OF。记ABO=,MOK=,KON=,则
EOM=,FON=,EOF=2+2=180。
BON=90NOF-COF=90-=
CNO=NBO+NOB=+=AOE+MOE=AOM
又OCN=MAO,△OCN∽△MAO,于是
,
AMCN=AOCO
同理,AQCP=AOCO。
【例8】ABCD是圆内接四边形,其对角线交于P,M、N分别是AD、BC的中点,过M、N分别作BD、AC的垂线交于K。求证:KPAB。
【分析】延长KP交AB于L,则只需证PAL+APL=90,
即只需证PDC+KPC=90,只需证PDC=PKF,
因为P、F、K、E四点共圆,故只需证PDC=PEF,即EF∥DC。


△DME∽△CNF
【例9】以△ABC的边BC为直径作半圆,与AB、AC分别交于点D、E。过D、E作BC的垂线,垂足分别是F、G,线段DG、EF交于点M。求证:AMBC。

【分析】连结BE、CD交于H,则H为垂心,故AHBC。(同一法)
设AHBC于O,DG、AH交于M1,EF、AH交于M2。下面证M1、M2重合。
OM1∥DF
OM1=
。
OM2∥EG
OM2=
。
只需证OGDF=EGOF,即
Rt△OEG∽Rt△ODFDOF=DHB=EHC=EOG。
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[标签:推理与证明,几何,几何问题,讲座]
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