来自:查字典高考网 2009-08-31
三角函数与反三角函数,是五种基本初等函数中的两种,在现代科学的很多领域中有着广泛的应用.同时它也是高考、数学竞赛中的必考内容之一.
一、三角函数的性质及应用
三角函数的性质大体包括:定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、最值等.这里以单调性为最难.它们在平面几何、立体几何、解析几何、复数等分支中均有广泛的应用.
【例1】求函数y=2sin(-2x)的单调增区间。
解:y=2sin(-2x)=2sin(2x+)。
由2k2x++,kZ,
得kx-,kZ。
即原函数的单调增区间为:[k-,k-](kZ)。
【例2】若(0,),比较sin(cos),cos(sin),cos这三者之间的大小。
解:∵在(0,)中,sinxtgx,而01,sin(coscos。
∵在(0,)中,y=cosx单调递减,coscos(sin)。
sin(coscoscos(sin)。
【例3】已知x,y[-,],aR,且。求cos(x+2y)的值。
解:原方程组化为。
∵x,-2y[-,],函数f(t)=t3+sint在[-,]上单调递增,且f(x)=f(-2y)
x=2y,cos(x+2y)=1。
【例4】求证:在区间(0,)内存在唯一的两个数c、d(c<d),使得sin(cosc)=c,cos(sind)=d.
证明:考虑函数f(x)=cos(sinx)-x,在区间[0,]内是单调递减的,并且连续,由于f(0)=cos(sin0)-0=10,f()=cos(sin)-=cos1-0,
存在唯一的d(0,),使f(d)=0,即cos(sind)=d.
对上式两边取正弦,并令c=sind,有sin(cos(sind))=sind,sin(cosc)=c。
显然c(0,)。且由y=sinx在(0,)上的单调性和d的唯一性,知c也唯一。
故存在唯一的c<d,使命题成立。
【例5】、、(0,),且ctg=,sin(ctg)=,ctg(sin)=。比较、、的大小。
解:∵、、(0,),ctg0,0sin。
=sin(ctgctg,=ctg(sinctg。
作出函数y=ctgx在(0,)上的图象,可看出:。
【例6】nN,n2,求证:coscoscos。
证明:∵01,
0,cos2=1-sin21-=,k=2,3,,n。
(coscoscos)2()()()()
=()2,
coscoscos。
二、三角恒等变换
众多的三角公式,构成了丰富多彩的三角学。要灵活地进行三角恒等变换,除熟练地掌握三角公式以及一般的代数变形技巧外,更重要的是抓住三角式的结构特征,从角和函数名入手,深入分析,灵活解题。
【例1】(1)已知cos=-,sin(+)=,且0,求sin的值。
(2)已知sin(-)=,求的值。
提示:(1)sin=。
(2)sin2=1-2sin2(-)=;=。
【说明】三角变换重在角的变换。
【例2】求coscoscoscos的值。
解法1:利用公式coscos2cos4cos2n=,得
coscoscoscos=-,coscoscoscos=。
又coscos=,cos=,
coscoscoscos==。
解法2:coscoscoscos
=
==。
解法3:利用公式coscos(+)cos(-)=cos3,取=、。
【例3】求cos420+cos440+cos480的值。
解:由倍角公式得
cos4=()2=(1+2cos2+cos22)=+cos2+cos4,
cos420+cos440+cos480=3+(cos40+cos80+cos160)
+(cos80+cos160+cos320)=+(cos40+cos80+cos160)
=+(2cos60cos20-cos20)=。
【例4】若sin+cos=,cos+sin=,求sincos的值。
解:令=-,则
(1)(2)得tg=,cos(+)=,
sincos=sinsin=-[cos(+)+cos(-)]=-。
【例5】已知f(x)=sin(x+)+cos(x-)是偶函数,0,求。
解法一:由偶函数的定义,可得(cos+sin)sinx=0对任意xR成立。
cos+sin=0,2sin(+)=0,
+=k,而0,=。
解法二:由f(-)=f(),得=,然后验证f(x)是偶函数。
【例7】方程sinx+cosx+a=0在(0,2)内有相异两根、,求实数a的取值范围,以及+的值。
解:∵sinx+cosx+a=0,sin(x+)=-。
令t=x+,则t(,),sint=-。
作出函数y=sint,t(,)的图象:
由图象可以看出:当-11且-即-2-或-2时,sint=-有相异两根t1、t2,原方程有相异两根、,并且
当-2-时,t1+t2=(+)+(+)=,+=;
当-2时,t1+t2=(+)+(+)=3,+=。
【例8】已知sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0,求s=tg(x+y+z)+tgxtgytgz的值。
解:由已知得,
(1)2+(2)2得cos(x-y)=-,
同理,cos(y-z)=-,cos(z-x)=-。
x,y,z中任意两角的终边夹角为,不妨设
x=y++2mZ,y=z++2nZ,
x=z++2(m+n),
x+y+z=3z+2(m+2n+1),
s=tg(x+y+z)+tgxtgytgz
=tg3z+tg(z+)tg(z+)tgz
=tg3z+tg(z+)tg(z-)tgz
=tg3z+tgztg(+z)tg(-z)
=0。
【说明】如能熟练运用下列公式,可对解题带来很大方便:
sinsin(+)sin(-)=sin3,
coscos(+)cos(-)=cos3,
tgtg(+)tg(-)=tg3。
如sin10sin50sin70=sin(310)=。
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★ 奇数和偶数
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