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巧用点到直线距离的几何意义求函数最值!

来自:查字典高考网 2017-01-21

对于高中生而言,要用常规方法求解某些函数的最值,是非常困难的,甚至不知道如何下手,但是善于利用函数的几何意义,把所给函数整理变形,便立即可以看出明确的几何意义,从而利用变形后函数所呈现出的几何意义,数形结合,进行求解函数的最值问题。

巧用点到直线距离的几何意义求函数最值!1

首先我们先来看看点到直线的距离,已知一点P(x0,y0)以及直线方程Ax+By+C=0,求点到直线的距离公式,如下图所示:

巧用点到直线距离的几何意义求函数最值!2

下面我们具体看一个例题,看看如何利用点到直线的距离的几何意义,求解函数的最值问题的。

例题:求下图1所示函数的最大值、最小值,题目如下图所示:

巧用点到直线距离的几何意义求函数最值!3

接下来我们对原函数进行变形处理,具体变形步骤如下图所示,首先需要对函数进行适当的变形,使变形后的函数满足点到直线的距离公式,这个过程就是点到直线距离公式的配凑过程。

巧用点到直线距离的几何意义求函数最值!4

然后我们对点(x,(4-(x-2)^2)^(1/2))作分析,把它变成参数方程,则有x0=t,y0=(4-(t-2)^2)^(1/2)。因为(x0-2)^2+y0^2=(t-2)^2+4-(t-2)^2=4,显然x0,y0满足以(2,0)点为圆心,半径为2的圆,且是上半圆,因为y00的。

我们画出直线方程和满足x0,y0的原方程图像,具体图像如下图所示,非常简单,直线方程时一条直线,还有一个以(2,0)点为圆心,半径为2的圆的上半圆。

巧用点到直线距离的几何意义求函数最值!5

画出图形后,数形结合,在图上过圆心A作直线的垂线,交直线于C点,交圆于E点,在过圆最右端点B作直线的垂线,交直线于D,则很明显圆上点到直线的最小距离是CE,最大距离是BD,再次利用点距离距离公式,计算出CE、BD的大小,即可求得原函数的最值。计算过程如下图所示:

巧用点到直线距离的几何意义求函数最值!6

上面我们求出了圆上点到直线的最大最小值,分别为BD、CE长度,将这两个值代入原函数的变形表达式中,可得到函数的最大、最小值。具体如下所示:

巧用点到直线距离的几何意义求函数最值!7

注意:关键在于函数如何变形为点到直线距离公式的形式。