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关于圆的问题

来自：查字典高考网 2009-08-31

圆的有关问题是与直线型紧密结合在一起的，因而综合性强，富于变化.

圆的有关计算与证明

例1 （第3届全国部分省市初中数学通讯赛试题）圆内接八边形的四条边长为1，另四条边长为2.求此八边形的面积.

解由弓形面积公式知所求的八边形的面积与八边形各边排列的顺序无关.

不妨设八边形ABCDEFGH如图35-1，且有

AB=CD=EF=GH=2，

BC=DE=FG=HA=1.

双向延长AH、BC、DE、FG得正方形KLMN.

故S八边形ABCDEFGH=S正方形KLMN-4S△ABK

= 关于圆的问题2

关于圆的问题3

例2 （第19届全苏中学生竞赛题）在边长为1cm的正五边形,去掉所有与五边形各顶点距离都小于1cm的点,求余下部分的面积.

解以A为圆心,1cm长为半径的扇形ABE内的点到点A的距离都小于1cm.分别以正五边形的各顶点为圆心,1cm长为半径作弧,以五段圆弧为边界的曲边五边形MNPQR内的点到正五边形ABCDE各顶点的距离小于1cm.五边形内余下的部分是五个等积的曲边三角形BMC、CND、DPE、EQA、ARB（如图35-2）.

考察曲边三角形BMC与以BAM为圆心角(等于60)的扇形BAM的面积之和,恰等于等边三角形ABM与以CBM为圆心角（等于108-60=48）的扇形CBM的面积之和.

所以，所要求的面积为：

5S曲边△BMC

=5(S△ABM+S扇形CBM-S扇形BAM)

=5 关于圆的问题4

= 关于圆的问题5

关于圆的问题6

例3 （第22届国际数学竞赛题）三个全等的圆有一个公共点O，并且都在一个已知△ABC内.每个圆与△ABC的两边相切.求证：△ABC的内心、外心和O点共线.

证明如图35-3,设三等圆为⊙A、⊙B和⊙C.故AB∥AB，BC∥BC，CA∥CA.于是△ABC∽△ABC.

由于三等圆分别与△ABC的两边相切，故AA、BB、CC相交于△ABC内心I.显然，I也是△ABC的内心.因此，△ABC的外心E，△ABC的外心E与I三点共线.

又O是三等圆的公共点，OA=OB=OC，因此O即是△ABC的外心E.故E，O、I三点共线.

关于圆的问题7

四点共圆

例4 （1980年哈尔滨初中数学竞赛题）如图35-4，在△ABC中，BD、CE为高，F、G分别为ED、BC的中点，O为外心，求证：AO∥FG.

证明过A作⊙O的切线AT.

∵BD、CE为高，

B、C、D、E四点共圆.

TAC=ABC=ADE

AT∥ED.又AOAT，

AOED.

又∵G为BC中点，

DG= 关于圆的问题8 BC=EG.

而EF=DF，FGED.

故AO∥FG.

关于圆的问题9

例5（1990年全国初中数学竞赛题）已知在凸五边形ABCDE中，BAE=3a,BC=CD=DE，且BCO=CDE=180-2a，求证：BAC=CAD=DAE.

证明连结BD、CE.

∵BC=CD=DE，

BCD=CDE，

△BCD≌△CDE.

又BCD=180-2a,

CBD=CDB

=DCE=DEC=a,

B、C、D、E四点共圆，且BC=CD=DE=2a.

BCDE=6a.又BAE=3a，

A、B、C、D、E共圆.

BAC=CAD=DAE=a.

关于圆的问题10

例6 （1988年广州等五市数学联赛题）如图35-6，AB为定圆O中的定弦，作⊙O的弦C1D1，C2D2，C1988D1988，对其中每一i（i=1，2，,1988），CiDi都被弦AB平分于Mi.过Ci、Di分别作⊙O的切线，两切线交于Pi.求证：点P1，P2，，P1988与某定点等距离，并指出这定点是什么点.

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