来自：查字典高考网 2009-08-29
指数函数、对数函数
一、计算：
例1.化简
(1) (2)
(3)
解：(1)x的指数是
所以原式=1
(2)x的指数是
=0
所以原式=1
(3)原式=
例2.若，求
解：因为
所以f(x)+f(1-x)=1
=
例3.已知m,n为正整数，a0,a11,且
求m,n
解：左边=
原式为loga(m+n)=logamn
得m+n=mn即(m-1)(n-1)=1
因为m,n?N，所以从而m=n=2
二、比较大小
例1.试比较与的大小
解：令121995=a0则
?=
所以
例2.已知函数f(x)=logax (a0,a11,x?R+)若x1,x2?R+,试比较与的大小
解：f(x1)+f(x2)=loga(x1x2)
∵x1,x2?R+, (当且仅当x1=x2时，取=号)，
当a1时，有，
即 (当且仅当x1=x2时，取=号)
当a1时，有，
即 (当且仅当x1=x2时，取=号)
例3.已知y1=，y2=，当x为何值时
(1)y1=y2 (2)y1y2 (3)y1y2
解：由指数函数y=3x为增函数知
(1)y1=y2的充要条件是：2x2-3x+1=x2+2x-5 解得x1=2,x2=3
(2)y1y2的充要条件是：2x2-3x+1x2+2x-5 解得x2或x3
(3)y1y2的充要条件是：2x2-3x+1x2+2x-5 解得23
三、证明
例1.对于自然数a,b,c (a￡b￡c)和实数x,y,z,w若ax=by=cz=70w (1) (2)
求证：a+b=c
证明：由(1)得：
把(2)代入得：abc=70=257,a￡b￡c
由于a,b,c均不会等于1，故a=2,b=5,c=7从而a+b=c
例2.已知A=6lgp+lgq，其中p,q为素数，且满足q-p=29，求证：34
证明：由于p,q为素数，其差q-p=29为奇数，p=2,q=31
A=6lg2+lg31=lg(2631)=lg1984
100010000 故34
例3.设f(x)=logax (a0,a11)且 (q为锐角)，求证：115
证明：∵q是锐角，，从而a1
又f(15)==sinq+cosq
=1
故a15 综合得：115
例4.已知01,x2+y=0，求证：
证：因为01，所以ax0由平均值不等式
故
四、图象和性质
例1.设a、b分别是方程log2x+x-3=0和2x+x-3=0的根，求a+b及log2a+2b
解：在直角坐标系内分别作出函数y=2x和y=log2x的图象，再作直线y=x和y= -x+3，由于y=2x和y=log2x互为反函数，故它们的图象关于直线y=x对称，方程log2x+x-3=0的根a就是直线y= -x+3与对数曲线y=log2x的交点A的横坐标，方程2x+x-3=0的根b就是直线y= -x+3与指数曲线y=2x的交点B的横坐标
设y= -x+3与y=x的交点为M，则点M的横坐标为(1.5,1.5)，
所以a+b=2xM=3 log2a+2b=2yM=3
例6.设f(x)=min(3+，log2x),其中min(p,q)表示p、q中的较小者，求f(x)的最大值
解：易知f(x)的定义域为(0,+￥)
因为y1=3+在(0,+￥)上是减函数，y2=log2x在(0,+￥)上是增函数，而当y1=y2，即
3+=log2x时，x=4，所以由y1=3+和y2=log2x的图象可知
故当x=4时，得f(x)的最大值是2
另解：f(x)￡3+=3- (1) f(x)=log2x (2)
(1)2+(2)消去log2x，得3f(x)￡6，f(x)￡2
又f(4)=2,故f(x)的最大值为2
例7.求函数的最小值
解：由1-3x0得，x0,所以函数的定义域为(-￥,0)
令3x=t,则t?(0,1)，于是
故当x= -1时，得y的最小值-2+2log23
五、方程和不等式
例1.解方程(1)x+log2(2x-31)=5 (2) 2lgxxlg2-3xlg2-21+lgx+4=0
解：(1)原方程即：log22x+log2(2x-31) =5
log2[2x(2x -31)]=5 (2x)2-312x=32
解得：2x=32, x=5
(2)原方程即：(2lgx)2-52lgx+4=0
解得：x1=100,x2=1
例2.设a0且a11,求证：方程ax+a-x=2a的根不在区间[-1,1]内
解：设t=ax,则原方程化为：t2-2at+1=0 (1)
由D=4a2-430得a31,即a1
令f(t)= t2-2at+1
f(a)=a2-2a2+1=1-a20
所以f(t)的图象与横轴有的交点的横坐标在之外，故方程t2-2at+1=0在之外有两个实根，原方程有两实根且不在区间[-1,1]内
例3.解方程：lg2x-[lgx]-2=0 (其中[x]表示不大于实数x的最大整数)
解：由[x]的定义知，[x]￡x，故原方程可变为不等式：
lg2x-lgx-2￡0即-1￡lgx￡2
当-1￡lgx0时，[lgx]= -1，于是原方程为lg2x=1
当0￡lgx1时，[lgx]=0，原方程为lg2x=2，均不符合[lgx]=0
当1￡lgx2时，[lgx]=1，原方程为lg2x=3，所以lgx=，
当lgx=2时，x=100
所以原方程的解为x1=
例4.当a为何值时，不等式
有且只有一解
解：易知：a0且a11，设u=x2+ax+5，原不等式可化为
(1)当01时，原不等式为 (1)
由于当u30时，与均为单调增函数，所以它们的乘积
也是单增函数
因为f(4)=log3(2+1)log5(4+1)=1
所以(1)等价于u34,即x2+ax+534此不等式有无穷多解
(2)当a1时，不等式化为 (2)
由f(4)=1知，(2)等价于0￡u￡4，即0￡x2+ax+5￡4
从上式可知，只有当x2+ax+5=4有唯一解即D=a2-4=0，a=2时，不等式0￡x2+ax+5￡4有唯一解x= -1
综上所述，当a=2时原不等式有且只有一个解
例5.已知a0且a11，试求使方程有解的k的取值范围
解：原方程即
即
分别解关于的不等式、方程得： (k10时)
所以解得k -1或01
又当k=0时，代入原式可推出a=0与已知矛盾，故k的取值范围为(-￥,-1)U(0,1)
【指数函数、对数函数】相关文章：
[标签：函数,]
沈阳音乐学院郎亦农教授的女高音高考曲目解析课程 第1集 沈阳音乐学院郎亦农为你讲解女高音高考曲目
探秘历史 第二季 第211集 此人高考数学考了0分，因作文写3句话被重点大学录取
学渣儿子高考，英语选择题全选B！老师通报成绩的那一刻父亲懵了
张雪峰高考志愿填报指南 第15集 高考填报志愿，想学电子信息类专业，推荐报这六所高校，不出错
创艺第二届：2019届高考录取表彰大会暨“核桃音乐节”合影——你只管努力，剩下的交给创艺
2019全国高考志愿填报攻略 第50集 天津市高考历史三年本科录取排名
1000张学生用草稿纸考研专用免邮空白便宜薄演草演算纸白纸本书写纸批发打草a4大张实惠装18k高考数学草稿本
