来自：查字典高考网 2009-08-29
函数的最大值和最小值
例1.设x是正实数，求函数的最小值。
解：先估计y的下界。
又当x=1时，y=5，所以y的最小值为5。
说明 本题是利用配方法先求出y的下界，然后再举例说明这个下界是可以限到的。举例是必不可少的，否则就不一定对了。例如，本题我们也可以这样估计：
但y是取不到-7的。即-7不能作为y的最小值。
例2. 求函数的最大值和最小值。
解 去分母、整理得：(2y-1)x2+2(y+1)x+(y+3)=0.
当时，这是一个关于x的二次方程，因为x、y均为实数，所以
D=[2(y+1)]2-4(2y-1)(y+3)30, y2+3y--4￡0,
所以 -4￡y￡1
又当时，y=-4;x=-2时，y=1.所以ymin=-4，ymax=1.
说明 本题求是最值的方法叫做判别式法。
例3.求函数，x?[0,1]的最大值
解：设，则x=t2-1
y= -2(t2-1)+5t= -2t2+5t+1
原函数当t=时取最大值
例4求函数的最小值和最大值
解：令x-1=t ()
则
ymin=
例5.已知实数x,y满足1￡x2+y2￡4,求f(x)=x2+xy+y2的最小值和最大值
解：∵
又当时f(x,y)=6，故f(x,y)max=6
又因为
又当时f(x,y)=，故f(x,y)min=
例6.求函数的最大值和最小值
解：原函数即
令 (0t￡1) 则y=5t2-t+1
当x=3时，函数有最小值，当x=0时，函数取最大值5
例7.求函数的最大值
解：设，则
f(x)=
由于 0￡a1,故f(x)￡，又当x= (k为整数)时f(x)= ,
故f(x)max=
例8.求函数的最大值
解：原函数即
在直角坐标系中，设点P(x,x2),A(3,2),B(0,1)，则
f(x)=|PA|-|PB|￡|AB|=
又当时，f(x)=
故f max (x) =
例9.设a是实数,求二次函数y=x2-4ax+5a2-3a的最小值m，当0￡a2-4a-2￡10中变动时，求m的最大值
解：y=x2-4ax+5a2-3a=(x-2a)2+a2-3a
由0￡a2-4a-2￡10解得：或￡a￡6
故当a=6时，m取最大值18
例10.已知函数f(x)=log2(x+1)，并且当点(x,y)在y=f(x)的图象上运动时，点在y=g(x)的图象上运动，求函数p(x)=g(x)-f(x)的最大值。
解 因为点(x,y)在y=f(x)的图象上，所以y=log2(x+1)。点在y=g(x)的图象上，所以故
令， 则
当，即时，，所以
从而 。
例11.已知函数的最小值是2，最大值是6，求实数a、b的值。
解：将原函数去分母，并整理得(a-y)x2+bx+(6-2y)=0.
若y=a，即y是常数，就不可能有最小值2和最大值6了，所以y 1a。于是
D=b2-4(a-y)(6-2y)30,所以y2-(a+3)y+3a-￡0.
由题设，y的最小值为2，最大值为6，所以(y-2)(y-6)￡0, 即 y2-8y+12￡0.
由(1)、(2)得 解得：
例12.求函数 的最小值和最大值。
解 先求定义域。由 最6￡x￡8.
当x?[6,8]，且x增加时，增大，而减小，于是f(x)是随着x的增加而减小，即f(x)在区间[6，8]上是减函数。所以
fmax(x)=f(8)=0, fmin(x)=f(6)=0
例13.设x,y,z是3个不全为零的实数，求的最大值
分析：欲求的最大值，只须找一个最小常数k，使得xy+2yz￡k(x2+y2+z2)
∵ x2+ay232xy (1-a)y2+z232yz
x2+y2+z232xy+2yz
令2=,则a=
解：∵
即
又当x=1,y=，z=2时，上面不等号成立，从而的最大值为
例14.设函数f:(0,1)?R定义为求f(x)在区间上的最大值
解：(1)若x?且x是无理数，则
f(x)=x
(2) 若x?且x是有理数，设，其中(p,q)=1,0q,由于
63q+9￡64q-8，q317
因此
f(x)在区间上的最大值
作业：
1.若3x2+2y2=2x,求x2+y2的最大值
2.设x,y是实数，且求u=x+y的最小值
3.已知x1,x2是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0 (k?R)的两个实数根，求x12+x22的最大值和最小值
4.求函数的最小值
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