来自：查字典高考网 2009-08-29
函数的最大值和最小值
例1.设x是正实数，求函数的最小值。
解：先估计y的下界。
又当x=1时，y=5，所以y的最小值为5。
说明 本题是利用配方法先求出y的下界，然后再举例说明这个下界是可以限到的。举例是必不可少的，否则就不一定对了。例如，本题我们也可以这样估计：
但y是取不到-7的。即-7不能作为y的最小值。
例2. 求函数的最大值和最小值。
解 去分母、整理得：(2y-1)x2+2(y+1)x+(y+3)=0.
当时，这是一个关于x的二次方程，因为x、y均为实数，所以
D=[2(y+1)]2-4(2y-1)(y+3)30, y2+3y--4￡0,
所以 -4￡y￡1
又当时，y=-4;x=-2时，y=1.所以ymin=-4，ymax=1.
说明 本题求是最值的方法叫做判别式法。
例3.求函数，x?[0,1]的最大值
解：设，则x=t2-1
y= -2(t2-1)+5t= -2t2+5t+1
原函数当t=时取最大值
例4求函数的最小值和最大值
解：令x-1=t ()
则
ymin=
例5.已知实数x,y满足1￡x2+y2￡4,求f(x)=x2+xy+y2的最小值和最大值
解：∵
又当时f(x,y)=6，故f(x,y)max=6
又因为
又当时f(x,y)=，故f(x,y)min=
例6.求函数的最大值和最小值
解：原函数即
令 (0t￡1) 则y=5t2-t+1
当x=3时，函数有最小值，当x=0时，函数取最大值5
例7.求函数的最大值
解：设，则
f(x)=
由于 0￡a1,故f(x)￡，又当x= (k为整数)时f(x)= ,
故f(x)max=
例8.求函数的最大值
解：原函数即
在直角坐标系中，设点P(x,x2),A(3,2),B(0,1)，则
f(x)=|PA|-|PB|￡|AB|=
又当时，f(x)=
故f max (x) =
例9.设a是实数,求二次函数y=x2-4ax+5a2-3a的最小值m，当0￡a2-4a-2￡10中变动时，求m的最大值
解：y=x2-4ax+5a2-3a=(x-2a)2+a2-3a
由0￡a2-4a-2￡10解得：或￡a￡6
故当a=6时，m取最大值18
例10.已知函数f(x)=log2(x+1)，并且当点(x,y)在y=f(x)的图象上运动时，点在y=g(x)的图象上运动，求函数p(x)=g(x)-f(x)的最大值。
解 因为点(x,y)在y=f(x)的图象上，所以y=log2(x+1)。点在y=g(x)的图象上，所以故
令， 则
当，即时，，所以
从而 。
例11.已知函数的最小值是2，最大值是6，求实数a、b的值。
解：将原函数去分母，并整理得(a-y)x2+bx+(6-2y)=0.
若y=a，即y是常数，就不可能有最小值2和最大值6了，所以y 1a。于是
D=b2-4(a-y)(6-2y)30,所以y2-(a+3)y+3a-￡0.
由题设，y的最小值为2，最大值为6，所以(y-2)(y-6)￡0, 即 y2-8y+12￡0.
由(1)、(2)得 解得：
例12.求函数 的最小值和最大值。
解 先求定义域。由 最6￡x￡8.
当x?[6,8]，且x增加时，增大，而减小，于是f(x)是随着x的增加而减小，即f(x)在区间[6，8]上是减函数。所以
fmax(x)=f(8)=0, fmin(x)=f(6)=0
例13.设x,y,z是3个不全为零的实数，求的最大值
分析：欲求的最大值，只须找一个最小常数k，使得xy+2yz￡k(x2+y2+z2)
∵ x2+ay232xy (1-a)y2+z232yz
x2+y2+z232xy+2yz
令2=,则a=
解：∵
即
又当x=1,y=，z=2时，上面不等号成立，从而的最大值为
例14.设函数f:(0,1)?R定义为求f(x)在区间上的最大值
解：(1)若x?且x是无理数，则
f(x)=x
(2) 若x?且x是有理数，设，其中(p,q)=1,0q,由于
63q+9￡64q-8，q317
因此
f(x)在区间上的最大值
作业：
1.若3x2+2y2=2x,求x2+y2的最大值
2.设x,y是实数，且求u=x+y的最小值
3.已知x1,x2是方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0 (k?R)的两个实数根，求x12+x22的最大值和最小值
4.求函数的最小值
【函数的最大值和最小值】相关文章：
★ 国际数学奥林匹克
[标签：函数,]
竞赛专题讲座－平面几何证明 
竞赛专题讲座－平面几何四个重要定理 
竞赛专题讲座－平面几何证明 
覆盖 
平面图形的面积 
抽屉原则 乾坤已定，组合解读2019高考数学全国3卷理科18题，你是黑马吗？
1000张学生用草稿纸考研专用免邮空白便宜薄演草演算纸白纸本书写纸批发打草a4大张实惠装18k高考数学草稿本
探秘历史 第二季 第233集 考英语用来睡觉，结果仍是高考状元，如今她怎么样了？
沈阳音乐学院郎亦农教授的女高音高考曲目解析课程 第1集 沈阳音乐学院郎亦农为你讲解女高音高考曲目
加油吧考生：2019高考咨询大直播 第43集 科学填报志愿 规划精彩人生
NBA流言收割机 第6集 神预测？高考数学试题暗示猛龙勇士4
