来自:查字典高考网 2009-08-29
等差数列与等比数列
例1.等差数列中,a3+a7-a10=8,a11-a4=4,求S13
解:由求和公式
知问题转化为求a7
由条件得:a7=12
例2.已知数列{an}满足
(1)计算:a2,a3,a4 (2)求数列的通项公式
解:(1)由可计算出
a2= -1,a3=,a4= -1
有两种解法,一由a2,a3,a4的值猜想通项公式然后用数学归纳法证明
二是由已知得:
(*)
两式相减得:(an-1-1)(an-an-2)=0
显然不存在an-1-1=0的情况,否则代入(*)有an=an+1即0=1矛盾,故只有an=an-2
这样可得 或
例3.已知数列{an}的各项均为正数,且前n项之和Sn满足6Sn=an2+3an+2.若a2,a4,a9成等比数列,求数列的通项公式。
解:当n=1时,由题意有6a1=a12+3a+2
于是 a1=1 或 a1=2
当n32时,有6Sn=an2+3an+2,6Sn-1=an-12+3an-1+2
两式相减得:(an+an-1) (an-an-1-3)=0
由题意知{an}各项为正,所以an-an-1=3
当a1=1时,an=1+3(n-1)=3n-2
此时a42=a2a9成立
当a1=2时,an=2+3(n-1)=3n-1
此时a42=a2a9不成立,故a1=2舍去
所以an=3n-2
例4.各项为实数的等差数列的公差为4,其首项的平方与其余各项之和不超过100,这样的数列至多有多少项?
解 设a1,a2,an是公差为4的等差数列,则
a12+a2+a3++an£100,
即
a12+(n-1)a1+(2n2-2n-100)£0 (1)
因此,当且仅当D=(n-1)2-4(2n2-2n-100)30时,至少存在一个实数a1满足(1)式。
因为D30,所以
7n2-6n-401£0,
解得 n1£n£n2 (2)
其中,所以满足(2)的自然数n的最大值为8。故这样的数列至多有8项。
例5.各项均为实数的等比数列{an}的前n项之和为Sn,若S10=10,S30=70,求S40。
解 记b1=S10,b2=S20-S10,b3=S30-S20,b4=S40-S30.设q是{an}的公比,则b1,b2,b3,b4构成以r=q10为公比的等比数列。于是
70=S30=b1+b2+b3
=b1(1+r+r2)
=10(1+r+r2)
即r2+r-6=0. 解得r=2 或 r=-3
由于r=q100 , 所以r=2
故 S40=10(1+2+22+23
例6.给定正整数n和正数M,对于满足条件a12+an+12£M的所有等差数列a1,a2,a3试求
S=an+1+an+2++a2n+1的最大值。
解 设公差为d,an+1=a. 则
S=an+1+an+2++a2n+1
=(n+1)a+
故
又 M3a12+an+12
=(a-nd)2+a2
=
所以 |S|
且当 时,
S=
=
=
由于此时4a=3nd,所以
所以S的最大值为。
例7.设等差数列的首项及公差均为非负整数,项数不少于3,且各项之和为972,这样的数列共有多少个?
解 设等差数列首项为a,公差为d,依题意有
即 [2a+(n-1)d]n=2972, (3)
因为n为不小于3的自然数,97为素数,故n的值只可能为97,297,972,2972四者之一。
若 d0,则由(3)知
29723n(n-1)d3n(n-1).
故只可能有n=97.于是(3)化为 a+48d=97.
此时可得n=97,d=1,a=49 或 n=97,d=2,a=1.
若d=0时,则由(3)得na=972,此时n=97,a=97 或 n=972,a=1。
故符合条件的数列共有4个。
例8.设{an}是由正数组成的等比数列,Sn是前n项之和
(1)证明
(2)是否存在常数c0,使得成立,并证明你的结论
证明:(1)设{an}的公比为q,由已知得:a10
i)当q=1时,Sn=na1,从而,
SnSn+2-Sn+12=na1(n+2)a1-(n+1)2a12= -a120
ii)当q11时,
由i)、ii)均有SnSn+2Sn+12,两边同时取对数即得证
(2)要使成立,则有
分两种情况讨论
i)当q=1时
(Sn-c)(Sn+2-c)-(Sn+1-c)2=(na1-c)[(n+2)a1-c]-[(n+1)a1-c]2= -a120
即不存在常数c0使结论成立
ii)当q11时,若条件(Sn-c)(Sn+2-c)=(Sn+1-c)2成立,则
(Sn-c)(Sn+2-c)-(Sn+1-c)2=
= -a1qn[a1-c(1-q)]
而a1qn10,故只能是a1-c(1-q)=0
即,此时,由于c0,必须01,但01时,
不满足Sn-c0,即不存在常数c0满足条件
综合i)、ii)可得,不存在常数c0,满足题意
例9.设任意实数x,y满足|x|1,|y|1,求证: (第19届莫斯科数学竞赛试题)
证明:∵|x|1,|y|1,x21,故
=(1+x2+ x4+ x6+)+(1+ y2+ y4+ y6+)=2+(x2+y2) (x4+y4)+ (x6+y6)+
2+2xy+2x2y2+2x3y3+=
例10.设x,y,z为非负实数,且x+y+z=1,求证:0£xy+yz+zx-2xyz£
证明:由对称性,不妨设x3y3z ∵x+y+z=2
x+y,, z成等差数列,故可设x+y=+d,z=-d
由x+y32z,得,则
xy+yz+zx-2xyz=(x+y)z+xy(1-2z)=30
当且仅当x=1,y=z=0时取等号
又£
=
当且仅当x=y=z=时取等号
故0£xy+yz+zx-2xyz£
例11.解方程组
解:由(1)得 解得
即xy=15=,则x,,y成等比数列,于是可设x=q,y= 代入(2)整理得:
15q4-34q2+15=0
解得:
故经检验都是原方程组的解
例12.解方程:
解:显然成等差数列,故可设
(1)2-(2)2得
-2(3x+2)= -2(3x+2)d 解得d=1或
当d=1时,代入(1)解得是增根,舍去
∵符合题意,是原方程的根
例13.等差数列{an}中,,试求(l-m)ab+(m-n)bc+(n-l)ca的值
解:在直角坐标系中,对于任意n?N,点(n,an)共线,所以有,点
共线,于是
,由,化简得:
,所以
=
所以所求的值为0
例14.从n个数1,a, a2,, an (a2)中拿走若干个数,然后将剩下的数任意分成两个部分,证明:这两部分之和不可能相等
证明:当a2时,,上式对任意k?N成立,
不妨设剩下的数中最大的数am (m31)在第一部分中,
则第一部分各数之和3am1+a++am-13第二部分之和
作业:
1.设{an}是等比数列,首项a11,公比q1,求证:数列{}是递减数列
2.确定最大的实数z,使得x+y+z=5,xy+yz+zx=3,并且x与y也是实数
3.将奇数{2n-1}按照第n组含有n个数的规则分组:
1,
3,5
7,9,11,
13,15,17,19
(1)求第8组中的所有奇数
(2)求1993属于第几组中的第几号数
(3)求第100组中所有奇数的和
(4)求前100组的全体奇数的总和
4.设{an}与{bn}分别是等差数列和等比数列,且a1=b10,a2=b20试比较an和bn的大小
5.设S={1,2,3,,n},A为至少含有两项的公差为正的等差数列,其每一项均在S中,且添加S中的其它元素于A以后,均不能构成与A有相同公差的等差数列,求这种数列A的个数(只有两项的数列也看成等差数列)
6.数列{an}的前n项之和为Sn,若S1=1且Sn1=Sn+(5n+1)an,n=1,2,,|a|11,求Sn
【等差数列与等比数列】相关文章:
★ 高中历史记忆方法
[标签:数列]
高考阅卷名师给考生的高考作文密训课 第4集 高考作文审题实操方法精讲(二)
爆笑班主任 第一季 第221集 高考结束学生有多疯狂?山东王老师疯狂吐槽
乾坤已定,组合解读2019高考数学全国3卷理科18题,你是黑马吗?
张雪峰高考志愿填报指南 第47集 高考志愿,令人头疼的数学系,才是专业万金油,毕业后机会多
沈阳音乐学院郎亦农教授的女高音高考曲目解析课程 第1集 沈阳音乐学院郎亦农为你讲解女高音高考曲目
高考前必听的5首励志歌曲,《Dream it possible》最能鼓舞人心!
视频|2019全国高考今日开考: 语文特级教师评析上海卷高考作文
学渣儿子高考,英语选择题全选B!老师通报成绩的那一刻父亲懵了
广州早晨 2019 山西一高中班主任带学生骑行1800公里去上海
他高考作文仅得6分,总分428分,被985高校录取,却被导师拒绝!