来自：查字典高考网 2009-08-31
在化简、求值、证明恒等式（不等式）、解方程（不等式）的过程中，常需将代数式变形，现结合实例对代数式的基本变形，如配方、因式分解、换元、设参、拆项与逐步合并等方法作初步介绍.
1． 配方
在实数范围内，配方的目的就是为了发现题中的隐含条件，以便利用实数的性质来解题.
例1 （1986年全国初中竞赛题）设a、b、c、d都是整数，且m=a2+b2,n=c2+d2,mn也可以表示成两个整数的平方和，其形式是______.
解mn=(a2+b2)(c2+d2)
=a2c2+2abcd+b2d2+a2d2+b2c2-2abcd
=(ac+bd)2+(ad-bc)2
=(ac-bd)2+(ad+bc)2,
所以，mn的形式为(ac+bd)2+(ad-bc)2或（ac-bd）2+(ad+bc)2.
例2（1984年重庆初中竞赛题）设x、y、z为实数，且
(y-z)2+(x-y)2+(z-x)2
=(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2.
求
的值.
解 将条件化简成
2x2+2y2+2z2-2xy-2x2-2yz=0
(x-y)2+(x-z)2+(y-z)2=0
x=y=z,原式=1.
2.因式分解
前面已介绍过因式分解的各种典型方法,下面再举几个应用方面的例子.
例3(1987年北京初二数学竞赛题)如果a是x2-3x+1=0的根,试求
的值.
解 ∵a为x2-3x+1=0的根,
a2-3a+1=0,,且
=1.
原式
说明:这里只对所求式分子进行因式分解,避免了解方程和复杂的计算.
3.换元
换元使复杂的问题变得简洁明了.
例4 设a+b+c=3m,求证:
(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0.
证明 令p=m-a,q=m-b,r=m-c则
p+q+r=0.
P3+q3+r3-3pqr=(p+q+r)(p2+q2+r2-pq-qr-rp)=0
p3+q3+r3-3pqr=0
即 (m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0
例5 (民主德国竞赛试题) 若
,试比较A、B的大小.
解 设 
则
.
∵2x＞y 2x-y＞0, 又y＞0,
可知
A＞B.
4.设参
当已知条件以连比的形式出现时,可引进一个比例系数来表示这个连比.
例6 若
求x+y+z的值.
解 令
则有 x=k(a-b), y=(b-c)k z=(c-a)k,
x+y+z=(a-b)k+(b-c)k+(c-a)k=0.
例7 已知a、b、c为非负实数，且a2+b2+c2=1,
,求a+b+c的值.
解 设 a+b+c=k
则a+b=k-c，b+c=k-a,a+c=k-b.
由条件知
即 
a2k-a3+b2k-b3+c2k-c3=-3abc,
(a2+b2+c2)k+3abc=a3+b3+c3.
∵a2+b2+c2=1,
k=a3+b3+c3-3abc
=(a+b)3-3a2b-3ab2+c3-3abc
=(a+b+c)[(a+b)2+c2-(a+b)c]-3ab(a+b+c),
=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca),
k=k(a2+b2+c2-ab-bc-ac),
k(a2+b2+c2-ab-bc-ca-1)=0,
k(-ab-bc-ac)=0.
若K=0, 就是a+b+c=0.
若-ab-bc-ac=0,
即 (a+b+c)2-(a2+b2+c2)=0,
(a+b+c)2=1,
a+b+c=1
综上知a+b+c=0或a+b+c=1
5.拆、并和通分
下面重点介绍分式的变形：
（1） 分离分式 为了讨论某些用分式表示的数的性质，有时要将一个分式表示为一个整式和一个分式的代数和.
例8（第1届国际数学竞赛试题）证明对于任意自然数n，分数
皆不可约.,
证明 如果一个假分数可以通约，化为带分数后，它的真分数部分也必定可以通约.
而 
显然
不可通约，故
不可通约，从而
也不可通约.
（2） 表示成部分分式 将一个分式表示为部分分式就是将分式化为若干个真分式的代数和.
例9 设n为正整数，求证：
|
通分，
比较①、②两式，得A-B=0，且A+B=1，即A=B=
.
令k=1,2,,n得 
(3)通分 通分是分式中最基本的变形,例9的变形就是以通分为基础的,下面再看一个技巧性较强的例子.
例10(1986年冬令营赛前训练题)
已知
求证:
.
证明 
6.其他变形
例11 (1985年全国初中竞赛题)已知x(x0，1)和1两个数，如果只许用加法、减法和1作被除数的除法三种运算（可用括号），经过六步算出x2.那么计算的表达式是______.
解 x2=x(x+1)-x
或 x2=x(x-1)+x
例12 （第3届美国中学生数学竞赛题）设a、b、c、d都是正整数，且a5=b4,c3=d2,c-a=19,求d-b.
解 由质因数分解的唯一性及a5=b4,c3=d2,可设a=x4,c=y2,故
19=c-a=(y2-x4)=(y-x2)(y+x2)
解得 x=3. y=10. d-b=y3-x5=757
练习 七
1选择题
（1）（第34届美国数学竞赛题）把
相乘，其乘积是一个多项式，该多项式的次数是（ ）
（A）2 （B）3 （C）6 （D）7 （E）8
（3） 已知
则
的值是（ ）.
(A)1 (B)0 (C)-1 (D)3
（3）（第37届美国中学数学竞赛题）假定x和y是正数并且成反比，若x增加了p%，则y减少了（ ）.
（A）p% (B)
% (C)
% (D)
% (E)
%
2填空题
（1）（x-3）5=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f，则a+b+c+d+e+f=________, b+c+d+e=_______.
(2)若
=_____.
(3)已知y1=2x,y2=
,则y1y1986=______
3若（x-z）2-4(x-y)(y-z)=0,试求x+z与y的关系.
4（1985年宁夏初中数学竞赛题）把
写成两个因式的积,使它们的和为
，求这两个式子.
5.若x+3y+5z=0,2x+4y+7z=0.求
的值.
6.已知x,y,z为互不相等的三个数,求证
7已知a2+c2=2b2,求证
8.设有多项式f(x)=4x4-4px3+4qx2+2q(m+1)x+(m+1)2,求证:
如果f(x)的系数满足p2-4q-4(m-1)=0,那么,f(x)恰好是一个二次三项式的平方.
9.设(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)=(a+b+c+d)(bcd+cda+dab+abc).求证:ac=bd.
练习七
1.C.C.E
2.(1)-32,210 (2)
(3)2
3.略.
4.
5.
6.略, 7.略.
8.∵p2-4q-4(m+1)=0, 4q=p2-4(m+1)=0,
f(x)
=4x4-4px3+[p2-4(m+1)]x2+2p(m+1)x+(m+1)2
=4x4+p2x2+(m+1)2-4px3-4(m+1)x2+2p(m+1)x
=[2x2-px-(m+1)]2.
9.令a+b=p,c+d=q,由条件化为
pq(b+c)(d+a)=(p+q)(cdp+adq),
展开整理得cdp2-(ac+bd)+pq+abq2=0,
即(cp-bq)(dp-aq)=0.
于是cp=bq或dp=aq,即c(a+b)=b(c+a)或d(a+b)=a(c+d).
均可得出ac=bd.
【代数式的变形（整式与分式）】相关文章：
★ 高三数学强化训练
★ 关于圆的问题
[标签：整式,分式,代数,]
广州早晨 2019 山西一高中班主任带学生骑行1800公里去上海
学渣儿子高考，英语选择题全选B！老师通报成绩的那一刻父亲懵了
amc传媒音乐影像 第一季 第600集 高中校长演唱《记忆花园》为高考学子助力打气
1000张学生用草稿纸考研专用免邮空白便宜薄演草演算纸白纸本书写纸批发打草a4大张实惠装18k高考数学草稿本
他高考作文仅得6分，总分428分，被985高校录取，却被导师拒绝！
探秘历史 第二季 第211集 此人高考数学考了0分，因作文写3句话被重点大学录取
高考阅卷名师给考生的高考作文密训课 第3集 高考作文审题实操方法精讲（一）
高考阅卷名师给考生的高考作文密训课 第4集 高考作文审题实操方法精讲（二）
葛军大爷怒了：高考我出了个小学数学送分题，你们跟我说不会做？
