来自：查字典高考网 2009-08-31
在化简、求值、证明恒等式（不等式）、解方程（不等式）的过程中，常需将代数式变形，现结合实例对代数式的基本变形，如配方、因式分解、换元、设参、拆项与逐步合并等方法作初步介绍.
1． 配方
在实数范围内，配方的目的就是为了发现题中的隐含条件，以便利用实数的性质来解题.
例1 （1986年全国初中竞赛题）设a、b、c、d都是整数，且m=a2+b2,n=c2+d2,mn也可以表示成两个整数的平方和，其形式是______.
解mn=(a2+b2)(c2+d2)
=a2c2+2abcd+b2d2+a2d2+b2c2-2abcd
=(ac+bd)2+(ad-bc)2
=(ac-bd)2+(ad+bc)2,
所以，mn的形式为(ac+bd)2+(ad-bc)2或（ac-bd）2+(ad+bc)2.
例2（1984年重庆初中竞赛题）设x、y、z为实数，且
(y-z)2+(x-y)2+(z-x)2
=(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2.
求
的值.
解 将条件化简成
2x2+2y2+2z2-2xy-2x2-2yz=0
(x-y)2+(x-z)2+(y-z)2=0
x=y=z,原式=1.
2.因式分解
前面已介绍过因式分解的各种典型方法,下面再举几个应用方面的例子.
例3(1987年北京初二数学竞赛题)如果a是x2-3x+1=0的根,试求
的值.
解 ∵a为x2-3x+1=0的根,
a2-3a+1=0,,且
=1.
原式
说明:这里只对所求式分子进行因式分解,避免了解方程和复杂的计算.
3.换元
换元使复杂的问题变得简洁明了.
例4 设a+b+c=3m,求证:
(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0.
证明 令p=m-a,q=m-b,r=m-c则
p+q+r=0.
P3+q3+r3-3pqr=(p+q+r)(p2+q2+r2-pq-qr-rp)=0
p3+q3+r3-3pqr=0
即 (m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0
例5 (民主德国竞赛试题) 若
,试比较A、B的大小.
解 设 
则
.
∵2x＞y 2x-y＞0, 又y＞0,
可知
A＞B.
4.设参
当已知条件以连比的形式出现时,可引进一个比例系数来表示这个连比.
例6 若
求x+y+z的值.
解 令
则有 x=k(a-b), y=(b-c)k z=(c-a)k,
x+y+z=(a-b)k+(b-c)k+(c-a)k=0.
例7 已知a、b、c为非负实数，且a2+b2+c2=1,
,求a+b+c的值.
解 设 a+b+c=k
则a+b=k-c，b+c=k-a,a+c=k-b.
由条件知
即 
a2k-a3+b2k-b3+c2k-c3=-3abc,
(a2+b2+c2)k+3abc=a3+b3+c3.
∵a2+b2+c2=1,
k=a3+b3+c3-3abc
=(a+b)3-3a2b-3ab2+c3-3abc
=(a+b+c)[(a+b)2+c2-(a+b)c]-3ab(a+b+c),
=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca),
k=k(a2+b2+c2-ab-bc-ac),
k(a2+b2+c2-ab-bc-ca-1)=0,
k(-ab-bc-ac)=0.
若K=0, 就是a+b+c=0.
若-ab-bc-ac=0,
即 (a+b+c)2-(a2+b2+c2)=0,
(a+b+c)2=1,
a+b+c=1
综上知a+b+c=0或a+b+c=1
5.拆、并和通分
下面重点介绍分式的变形：
（1） 分离分式 为了讨论某些用分式表示的数的性质，有时要将一个分式表示为一个整式和一个分式的代数和.
例8（第1届国际数学竞赛试题）证明对于任意自然数n，分数
皆不可约.,
证明 如果一个假分数可以通约，化为带分数后，它的真分数部分也必定可以通约.
而 
显然
不可通约，故
不可通约，从而
也不可通约.
（2） 表示成部分分式 将一个分式表示为部分分式就是将分式化为若干个真分式的代数和.
例9 设n为正整数，求证：
|
通分，
比较①、②两式，得A-B=0，且A+B=1，即A=B=
.
令k=1,2,,n得 
(3)通分 通分是分式中最基本的变形,例9的变形就是以通分为基础的,下面再看一个技巧性较强的例子.
例10(1986年冬令营赛前训练题)
已知
求证:
.
证明 
6.其他变形
例11 (1985年全国初中竞赛题)已知x(x0，1)和1两个数，如果只许用加法、减法和1作被除数的除法三种运算（可用括号），经过六步算出x2.那么计算的表达式是______.
解 x2=x(x+1)-x
或 x2=x(x-1)+x
例12 （第3届美国中学生数学竞赛题）设a、b、c、d都是正整数，且a5=b4,c3=d2,c-a=19,求d-b.
解 由质因数分解的唯一性及a5=b4,c3=d2,可设a=x4,c=y2,故
19=c-a=(y2-x4)=(y-x2)(y+x2)
解得 x=3. y=10. d-b=y3-x5=757
练习 七
1选择题
（1）（第34届美国数学竞赛题）把
相乘，其乘积是一个多项式，该多项式的次数是（ ）
（A）2 （B）3 （C）6 （D）7 （E）8
（3） 已知
则
的值是（ ）.
(A)1 (B)0 (C)-1 (D)3
（3）（第37届美国中学数学竞赛题）假定x和y是正数并且成反比，若x增加了p%，则y减少了（ ）.
（A）p% (B)
% (C)
% (D)
% (E)
%
2填空题
（1）（x-3）5=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f，则a+b+c+d+e+f=________, b+c+d+e=_______.
(2)若
=_____.
(3)已知y1=2x,y2=
,则y1y1986=______
3若（x-z）2-4(x-y)(y-z)=0,试求x+z与y的关系.
4（1985年宁夏初中数学竞赛题）把
写成两个因式的积,使它们的和为
，求这两个式子.
5.若x+3y+5z=0,2x+4y+7z=0.求
的值.
6.已知x,y,z为互不相等的三个数,求证
7已知a2+c2=2b2,求证
8.设有多项式f(x)=4x4-4px3+4qx2+2q(m+1)x+(m+1)2,求证:
如果f(x)的系数满足p2-4q-4(m-1)=0,那么,f(x)恰好是一个二次三项式的平方.
9.设(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)=(a+b+c+d)(bcd+cda+dab+abc).求证:ac=bd.
练习七
1.C.C.E
2.(1)-32,210 (2)
(3)2
3.略.
4.
5.
6.略, 7.略.
8.∵p2-4q-4(m+1)=0, 4q=p2-4(m+1)=0,
f(x)
=4x4-4px3+[p2-4(m+1)]x2+2p(m+1)x+(m+1)2
=4x4+p2x2+(m+1)2-4px3-4(m+1)x2+2p(m+1)x
=[2x2-px-(m+1)]2.
9.令a+b=p,c+d=q,由条件化为
pq(b+c)(d+a)=(p+q)(cdp+adq),
展开整理得cdp2-(ac+bd)+pq+abq2=0,
即(cp-bq)(dp-aq)=0.
于是cp=bq或dp=aq,即c(a+b)=b(c+a)或d(a+b)=a(c+d).
均可得出ac=bd.
【代数式的变形（整式与分式）】相关文章：
★ 数学模型的分类
[标签：整式,分式,代数,]
竞赛专题讲座－平面几何证明 
竞赛专题讲座－平面几何四个重要定理 
竞赛专题讲座－平面几何证明 
覆盖 
平面图形的面积 
抽屉原则 你高考成绩高吗？这道题目怎能成立？高难度奥数，能不能把你难住
沈阳音乐学院郎亦农教授的女高音高考曲目解析课程 第1集 沈阳音乐学院郎亦农为你讲解女高音高考曲目
爆笑班主任 第一季 第220集 高考前最后一只视频，山东王老师揭秘高考的秘密
NBA流言收割机 第6集 神预测？高考数学试题暗示猛龙勇士4
高考体育四项生的日常训练——深蹲移动跳：发展膝关节，踝关节力量。
他高考作文仅得6分，总分428分，被985高校录取，却被导师拒绝！
广州早晨 2019 山西一高中班主任带学生骑行1800公里去上海
探秘历史 第二季 第479集 河南叛逆高考生，写下8000字批判作文，现状如何？
高考前必听的5首励志歌曲，《Dream it possible》最能鼓舞人心！
1000张学生用草稿纸考研专用免邮空白便宜薄演草演算纸白纸本书写纸批发打草a4大张实惠装18k高考数学草稿本
视频|2019全国高考今日开考: 语文特级教师评析上海卷高考作文
