来自:查字典高考网 2009-08-31
第一部分(上午9:00-12:00)
1999年4月27
1. nn的方格棋盘上放着一些棋子,满足如下两个条件:
(a) 放有棋子的方格和没有放棋子的方格有一条公共边。
(b) 任意给定两个放有棋子的方格,可以标出一条路线,从其中一个给定的方格出发,经过所有放有棋子的方格,最后到达另一个给定的方格。如图:
求证:棋盘上至少有(n2-2)/3个棋子。
2. 求证:对于循环四边形ABCD有:|AB-CD|+|AD-BC|2|AC-BD|。
3. 已知:p是大于2的质数,整数a、b、c、d不能被p整除,
且有{ra/p}+{rb/p}+{rc/p}+{rd/p}=2 ,其中r是任一不能被p整除的整数。
求证:在(a+b)、(a+c)、(a+d)、(b+c)、(b+d)、(c+d)6个数中至少有两个能被p整除。
第二部分(下午1:00-4:00)
1999年4月27
4. 已知:实数a1a2 。。。an(n3)满足:a1+a2 +。。。+ann,a12+a2 2+。。。+an2n2。
求证:max(a1a2 。。。an)2。
5. Y2K游戏:有2000千个方格排成一排,两个玩家轮流在方格里写S或O,谁先在连续的三个方格里写出SOS,谁就获胜;如果没有人写出算平局。
证明:后写的人有胜算。
6.
已知:等腰梯形ABCD,AB//CD,△BCD的内切圆与CD交于E点;F是DAC的平分线上一点,且EFCD;△ACF的外接圆与CD交于C和G;
求证:△AFG是等腰三角形。
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★ 2000中国数学奥林匹克(第十五届全国中学生数学冬令营)
★ 1999中国数学奥林匹克(北京)(第十四届全国中学生数学冬令营)
[标签:数学竞赛,奥林匹克,竞赛,竞赛联赛]
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