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28届美国数学奥林匹克竞赛

来自:查字典高考网 2009-08-31

第一部分(上午9:00-12:00)

1999年4月27

1. nn的方格棋盘上放着一些棋子,满足如下两个条件:

(a)  放有棋子的方格和没有放棋子的方格有一条公共边。

(b)  任意给定两个放有棋子的方格,可以标出一条路线,从其中一个给定的方格出发,经过所有放有棋子的方格,最后到达另一个给定的方格。如图:28届美国数学奥林匹克竞赛2

求证:棋盘上至少有(n2-2)/3个棋子。

2. 求证:对于循环四边形ABCD有:|AB-CD|+|AD-BC|2|AC-BD|。

3. 已知:p是大于2的质数,整数a、b、c、d不能被p整除,

且有{ra/p}+{rb/p}+{rc/p}+{rd/p}=2 ,其中r是任一不能被p整除的整数。

求证:在(a+b)、(a+c)、(a+d)、(b+c)、(b+d)、(c+d)6个数中至少有两个能被p整除。

第二部分(下午1:00-4:00)

1999年4月27

4. 已知:实数a1a2 。。。an(n3)满足:a1+a2 +。。。+ann,a12+a2 2+。。。+an2n2。

求证:max(a1a2 。。。an)2。

5. Y2K游戏:有2000千个方格排成一排,两个玩家轮流在方格里写S或O,谁先在连续的三个方格里写出SOS,谁就获胜;如果没有人写出算平局。

证明:后写的人有胜算。

6. 28届美国数学奥林匹克竞赛3已知:等腰梯形ABCD,AB//CD,△BCD的内切圆与CD交于E点;F是DAC的平分线上一点,且EFCD;△ACF的外接圆与CD交于C和G;

求证:△AFG是等腰三角形。

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[标签:数学竞赛,奥林匹克,竞赛,竞赛联赛]

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