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第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案

来自：查字典高考网 2009-08-31

　试题

1、（满分20分）汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前没行一段距离才能停住。我们称这段距离为刹车距离。刹车距离是分析事故的一个重要的因素。在一个限速为40千米/时的路段上，先后有A、B两辆汽车发生交通事故。事故后，交通警察现场测得A车的刹车距离超过12米，不足15米，B车的刹车距离超过11米，不足12米。又知A、B两种车型的刹车距离S（米）与车速x（千米/时）之间有如下关系：第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案2 如果仅仅考虑汽车的车速因素，哪辆车应负责任？

2.（满分20分）北京电视台每星期六晚播出《东芝动物乐园》，在这个节目中曾经有这样一个抢答题：小晰蜴体长15cm，体重15g,问：当小晰蜴长到体长为20cm时，它的体重大约是多少（选择答案：20g,25g,35g,40g）?尝试用数学分析出合理的解答。

3. （满分20分）受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐。在通常的情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋。下面是某港口顺某季节每天的时间与水深关系表：

时刻	水深（米）	时刻	水深（米）	时刻	水深（米）
0:00	5.0	8:00	3.1	16:00	7.4
1:00	6.2	9:00	2.5	17:00	6.9
2:00	7.1	10:00	2.4	18:00	5.9
3:00	7.5	11:00	3.5	19:00	4.4
4:00	7.3	12:00	4.4	20:00	3.3
5:00	6.5	13:00	5.6	21:00	2.5
6:00	5.3	14:00	6.7	22:00	2.7
7:00	4.1	15:00	7.2	23:00	3.8

(1)请在坐标纸上，根据表中的数据，用连续曲线描出时间与水深关系的函数图像；

（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5的安全间隙（船底与洋底的距离），问该船何时能进入港口？在港口能呆多久？

（3）若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？

4．（满分20分）2000年末，某商家迎来店庆，为了吸引顾客，采取满一百送二十，连环送的酬宾方式，即顾客在店内花钱满100元（这100元可以是现金，也可是奖励券，或二者合计），就送20元奖励券；满200元，就送40元奖励券，满300元，就送60元奖励券；...。当日，花钱最多的一顾客用现金70000元，如果按照酬宾方式，他最多能得到多少优惠呢？相当于商家打了几折销售？

5．（满分20分）某城市准备举行书画展览，为了保证展品安全，展览的保卫部门准备安排保安员值班。情况如下：

①展览大厅是长方形，内设均匀颁的mn个长方形展区，如图所示（下图是一个34个展区的示意图）。在展厅中，展览的书画被挂在每个展区的外墙上，参观者在通道上浏览书画。

第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案3

② 保安员站在固定的位置上，不允许转身，只能监视他的左右两侧和正前方，形如T形的区域。且一个保安员的正前方不安排其它保安员。

③ 不考虑保安员的轮岗、换班问题。

④ 展口的安全意味着每一个展区的四面外墙都在保安员的监视范围内。

问题：（1）对于如上图所示的展厅中，最少需要几个保安员能使展品安全？在图中标明保安员的位置（不要求证明）。

（2）假如展要有nm 第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案4 个展区，最少需要多少个保安员能使展品安全？请证明你的结论。

竞赛参考答案

　 1.解法一：由题意得这两辆汽车的刹车距离分别满足如下的关系式：

12 第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案5 15，

11 第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案6 12，

分别求解这两个不等式，得

　 30 第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案7 第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案8 35，

　 12 第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案8 第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案9 45.

可见，A车无责任，B车应付责任。

　解法二：如果第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案7 = 第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案9 =40km/h，则可以算得第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案10 =20m, 第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案11 =10m。由于A车实际刹车距离没有超过它按限速行驶的刹车距离=20m；而B车实际刹车距离超过了它按限速行驶时的刹车距离=10m。

可见A车无责任，B车应付责任。

2.解：假设小晰蜴从15cm长到20cm，体形是相似的。这时晰蜴的体重正比于它的

体积，而体积与体长的立方成正比。

　记体长为l的晰蜴的体重为第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案12 ，因此有

第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案13

　合理的答案应该是35g。

3.解：（1）描点作图，设x表示时间，y表示水深。

第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案14

（2）由题目条件，水深至少为5.5米时才能保证货船驶入港口的安全。为此在上图中做一条y=5.5的水平直线a。图象在a止方时，其对应的x范围为货船驶入港口的安全时间段，从图中可以看出，这个时间段约为0:30到5:40分，或13:00到18:20（有10分钟左右的偏差可以算对），在港口停留的时间大约为5小时。

　也可以用线性插值方法，在已知点中，若相邻两点在直线a的异侧，设加在它们中间且过直线a的点与它们共线。于是

　利用点（0，5）和（1，6.2），得第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案15 =（5.5-5）/（6.2-5）=0.417，对应的时间为0:25；利用点（5，6.5）和（6，5.3），得第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案16 =5.83，对应的时间为5:50。由此得到第一个满足条件的时间段约为0:25-5:50。

　同理，利用点（12,4.4）和(13,5.6)，得第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案17 =12.92,对应的时间为12:55；利用点（18,5.9）和(19,4.4)，得第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案18 =18.27，对应的时间为18:16。由此得到第二个满足条件的时间段约为12:55-18:16。

　（3）2:00时水深为7.1米，船需要的安全水深随着卸货时间的变化公式为：

y=5.5-0.3(x-2);

其中25.83，此处利用了插值的结果。在上面的函数图象中画出该图象，看出与原图象的交点大约在7:00左右（有10分钟左右上午偏差可以算正确），故知在7:00以前该货船一定要离开码头驶到较深的安全水域。

　注：此处也可利用(6,5.3),(7,4.1)做线性插值，得y=-1.2x+12.5与y=5.5-0.(x-2),联立可求得x=7.1,即7:06;若利用(7,4.1),(8,3.1)做线性插值，得y=-x+11.1与y=5.5-0.3(x-2)联立可求得x=7,即7:00.这些做法与看图得到的结果一致。

　 4.解：购物价值=所用人民币值+优惠值，将最多购物价值记作第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案19 。

按下列方法购物

　第一次用现金购物70000元，获得奖励券7000012%=14000（元）；

第二次用现金购物14000元，获得奖励券1400020%=2800（元）；

第三次用现金购物2800元，获得奖励券280020%=560（元）；

第四次用现金购物500元，获得奖励券50020%=100（元）；

第五次用现金购物100元，获得奖励券10020%=20（元）；

第六次用现金购物80元，获得奖励券80（60+20），获得奖励券0元。

至此，现金及奖励券全部用完，共计购物（记作a）a=70000+14000+2800+500+100+80=87480(元)。而第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案20 =80。018%，近似于八折。

下面证明第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案19 =a.

设分k次将70000花掉，第i次购物获得的奖励券为第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案21 元，剩下的钱为第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案22 元（不包括第i次获得的奖励券）。则0 第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案23 ,并可依次得第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案15 =（70000- 第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案24 ）20%14000；第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案25 =(7000-)20%+[(7000-)20%+- 第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案26 ]20%=70000 20%+70000 第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案27 - 第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案24 -20%;

第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案28 =70000 20%+70000 第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案27 -(20%)2 第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案24 -20% 第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案26 +{[70000-)20%+-]20%+- 第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案29 }20%

　 =70000 20%+70000 第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案27 +70000 第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案30 - 第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案24 - 第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案26 -20% 第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案29 ;

　一般地第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案31 =70000 20%+70000 第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案27 +...+70000 第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案32 - 第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案24 -- 第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案33 -20% 第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案34 ，

即第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案31 70000 [20%+ 第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案27 + 第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案30 ++ 第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案32 ]17500。

　则总共购物价值为70000+ 第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案31 70000+17500=87500.

　即第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案19 =87480元。接近八折。

　 5.解：（1）对如图所示的34个展区，至少要5个保安员才能保证展览的书画是安全的。

保安员站位的方案有多种，其中一个如下图所示：

第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案35

（2）对nm 第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案4 个展区，至少要m+n-2个保安员才能保证展览的书画是安全的。

证明：我们把模型进行抽象，把nm 第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案4 个展区抽象成一个nm格阵，它有n+m+2条边（对应待监视的走廊），且用字母标记如下：

由于保安员监视范围是T型区域，所以称保安员的位置对庆的格隈中的格点为T形点。

　这样，我们把一个实际问题转化为一个数学模型：在nm格阵中至少取几个T形点能够用这些T形区域覆盖nm格阵的全部n+m+2条边。

　首先，T型点放在nm格阵的外边框的格点上才能发挥最大作用，覆盖两条边。否则，如果在中间某一格点处放一T形点P，那么这一T形点P的另一边的一部分，而另一部分还需要另外的T形点去覆盖，这样PT形点相当于只覆盖了一条边。

　此外，在nm格阵的边界格点上，当有了一个T形点时，如果在此边界上再放入第二个，它所在的边界已不需要它覆盖，那么这个T形点相当于覆盖了一条边。由于nm格阵只有4条边界，所以T形点多于4个时，其中4个覆盖两条边，其余的只相当于覆盖一条边。因为这其余的不是被放在中间的格点上，就是被放在已有一个T形点的边界上，nm格阵共有m+n+2条边，所以至少需T形点（m+n+2）-4个，即m+n-2个。

另外，也的确有如下的办法用m+n-2个T形点控制nm格阵的m+n+2条边。

　在第四届北京高中数学知识应用竞赛试题及参考答案36 处放4个T形点，它们可以控制8条边。