来自：查字典高考网 2010-08-13
当几千名学员仍然沉浸在2010年网校暑期班的快乐学习中，为了让孩子们提前接触到更加精彩的秋季班课程，网校的各位老师在忙碌的暑期上课之余，投入了120%的精力，课程体系研讨、课程教研讨论、录制脚本研究、课程视频录制、视频后期制作，老师们加班加点，为的就是让孩子们听上最过瘾的秋季班第一讲！
下面听听我们的兰海老师为大家讲的四年级秋季课程整数与数列中的平方和公式吧！
整数与数列：平方和公式
平方和公式
平方和公式n(n+1)(2n+1)/6 即1*2+2*2+3*2++n*2=n(n+1)(2n+1)/6 (注：2n=n的平方)
证明方法
证法一（归纳猜想法）：
1、N＝1时，1＝1（1＋1）（21＋1）/6＝1
2、N＝2时，1＋4＝2（2＋1）（22＋1）/6＝5
3、设N＝x时，公式成立，即1＋4＋9＋＋x2＝x(x+1)(2x+1)/6
则当N＝x＋1时，
1＋4＋9＋＋x2＋（x＋1）2＝x(x+1)(2x+1)/6＋（x＋1）2
＝（x＋1）[2（x2）＋x＋6（x＋1）]/6
＝（x＋1）[2（x2）＋7x＋6]/6
＝（x＋1）（2x＋3）（x＋2）/6
＝（x＋1）[（x＋1）＋1][2（x＋1）+1]/6
也满足公式
4、综上所述，平方和公式1*2+2*2+3*2++n*2=n(n+1)(2n+1)/6成立，得证。
证法二 （利用恒等式(n+1)*3=n*3+3n*2+3n+1）：
(n+1)*3-n*3=3n*2+3n+1,
n*3-(n-1)*3=3(n-1)*2+3(n-1)+1
3*3-2*3=3*(2*2)+3*2+1
2*3-1*3=3*(1*2)+3*1+1.
把这n个等式两端分别相加，得：
(n+1)*3-1=3(1*2+2*2+3*2+....+n*2)+3(1+2+3+...+n)+n,
由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,
代入上式得：
n*3+3n*2+3n=3(1*2+2*2+3*2+....+n*2)+3(n+1)n/2+n
整理后得： 1*2+2*2+3*2+....+n*2=n(n+1)(2n+1)/6
a*2+b*2=a(a+b)-b(a-b)
四年级秋季课程目录安排表
|
课程讲次 |
讲次内容 |
| 第一讲 | 整数与数列 |
| 第二讲 | 简单抽屉原理、最不利原则 |
| 第三讲 |
游戏与对策（一） ---火柴棒、猫吃老鼠游戏 |
| 第四讲 | 加法与乘法原理综合应用 |
| 第五讲 | 巧求面积 |
| 第六讲 | 周期问题 |
| 第七讲 | 环形跑道问题 |
| 第八讲 | 知识点回顾与杯赛分析 |
| 第九讲 | 排列组合 |
| 第十讲 | 图形剪拼与操作 |
| 第十一讲 | 幻方与数阵图综合 |
| 第十二讲 | 体育比赛中的数学问题 |
| 第十三讲 | 流水行船问题 |
| 第十四讲 | 构造与论证之奇偶分析 |
| 第十五讲 | 知识点回顾与杯赛分析 |
兰海老师的秋季课程班
| 课程名称 | 课时 | 价格 | 试听 |
| 四年级数学秋季提高班 | 45 | 2150 | 试听 |
| 四年级数学秋季竞赛班 | 45 | 2150 | 试听 |
| 四年级数学秋季超常班 | 45 | 2150 | 试听 |
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[标签：平方和,兰海,整数,数列]
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