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吴国平:正弦定理和余弦定理考的不仅计算更是能力

来自:查字典高考网 2017-04-12

吴国平:正弦定理和余弦定理考的不仅计算更是能力1

在初中数学学习中,我们已经已经学习了最基本的边角关系相关知识,如勾股定理、解直角三角形等等。

进入高中后,高中数学教材继续深化这一块内容,如增加正弦定理和余弦定理。高中数学课本在引入正弦定理内容时,会提出一个探究性问题:在任意三角形中有大边对大角,小边对小角的边角关系。我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?;在引入余弦定理内容时,则会提出探究性问题如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法,这个三角形是大小、形状完全确定的三角形。

设置这些问题情境一个是从学生已有的几何知识出发,另一个主要是培养学生数学思想方法运用能力。

吴国平:正弦定理和余弦定理考的不仅计算更是能力2

培养学生的数学思想方法能力是高中数学学习中的重要组成部分,有利于学生加深数学知识的理解和掌握。如在引入正弦定理和余弦定理时创设相关问题情境,学生在提出问题、分析问题、解决问题过程中,掌握和理解相关知识,同时学会运用相关的数学思想方法。

因此,我们今天来讲讲正弦定理和余弦定理相关综合运用问题。

我们要知道,依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时,主要有如下两种方法:

(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状;

(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒等变形,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=π这个结论。

[注意] 在上述两种方法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解。

典型例题1:

吴国平:正弦定理和余弦定理考的不仅计算更是能力3

吴国平:正弦定理和余弦定理考的不仅计算更是能力4

吴国平:正弦定理和余弦定理考的不仅计算更是能力5

如何运用正弦定理和余弦定理来解决问题,似然教材中会提供一些建议,但对于一些综合性问题,两个定理都能用,是选用正弦定理还是余弦定理,关系到个人解题方法积累度。

应熟练掌握正、余弦定理及其变形.解三角形时,有时可用正弦定理,有时也可用余弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷。

已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断。

正弦定理和余弦定理并不是孤立的。解题时要根据具体题目合理选用,有时还需要交替使用。在解决三角形问题中,面积公式S=1/2absin C=1/2bcsin A=1/2acsin B最常用,因为公式中既有边也有角,容易和正弦定理、余弦定理结合应用。

典型例题2:

吴国平:正弦定理和余弦定理考的不仅计算更是能力6

吴国平:正弦定理和余弦定理考的不仅计算更是能力7

吴国平:正弦定理和余弦定理考的不仅计算更是能力8

在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正弦值也较大,正弦值较大的角也较大,即在△ABC中,Ab?sin Asin B。

有很多同学即使熟知正弦定理和余弦定理,在解决具体问题时,也经常不知道选择哪个更好,不能灵活转化,从而使问题复杂化,所以正确选择正弦定理和余弦定理是解这类问题的关键。

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