来自：查字典高考网 2009-08-29
几个重要不等式(二)柯西不等式
，当且仅当bi=lai(1￡i￡n)时取等号
柯西不等式的几种变形形式
1.设ai?R,bi0(i=1,2,,n)则，当且仅当bi=lai(1￡i￡n)时取等号
2.设ai,bi同号且不为零(i=1,2,,n)，则，当且仅当b1=b2==bn时取等号
例1.已知a1,a2,a3,,an，b1,b2,,bn为正数，求证：
证明：左边=
例2.对实数a1,a2,,an,求证：
证明：左边=
例3.在DABC中，设其各边长为a,b,c,外接圆半径为R，求证：
证明：左边3
例4.设a,b,c为正数，且a+b+c=1,求证：
证明：左边=
3
=
=
例5.若n是不小于2的正整数，试证：
证明：
所以求证式等价于
由柯西不等式有
于是：
又由柯西不等式有
例6.设x1,x2,,xn都是正数(n32)且，求证：
证明：不等式左端即(1)
∵，取，则(2)
由柯西不等式有(3)
及
综合(1)、(2)、(3)、(4)式得：
三、排序不等式
设a1￡a2￡￡an,b1￡b2￡￡bn;r1,r2,,rn是1,2,,n的任一排列，则有：
a1bn+a2bn-1++anb1￡a1br1+a2br2++anbrn￡a1b1+a2b2++anbn
反序和￡乱序和￡同序和
例1.对a,b,c?R+,比较a3+b3+c3与a2b+b2c+c2a的大小
解：取两组数a,b,c；a2,b2,c2，则有a3+b3+c33a2b+b2c+c2a
例2.正实数a1,a2,,an的任一排列为a1/,a2/,an/，则有
证明：取两组数a1,a2,,an；
其反序和为，原不等式的左边为乱序和，有
例3.已知a,b,c?R+求证：
证明：不妨设a3b3c0,则0且a123b123c120
则
例4.设a1,a2,,an是1,2,,n的一个排列，求证：
证明：设b1,b2,,bn-1是a1,a2,,an-1的一个排列，且b1bn-1；
c1,c2,,cn-1是a2,a3,,an的一个排列,且c1cn-1
则且b131,b232,,bn-13n-1；c1￡2,c2￡3,,cn-1￡n
利用排序不等式有：
例5.设a,b,c?R+,求证：
证明：不妨设a3b3c,则，a23b23c20
由排序不等式有：
两式相加得
又因为：a33b33c30,
故
两式相加得
例6.切比雪不等式：若a1￡a2￡￡an且b1￡b2￡￡bn,则
a1￡a2￡￡an且b13b233bn,则
证明：由排序不等式有：
a1b1+a2b2++anbn=a1b1+a2b2++anbn
a1b1+a2b2++anbn3a1b2+a2b3++anb1
a1b1+a2b2++anbn3a1b3+a2b4++anb2
a1b1+a2b2++anbn3a1bn+a2b1++anbn-1
将以上式子相加得：
n(a1b1+a2b2++anbn)3a1(b1+b2++bn)+a2(b1+b2++bn)++an(b1+b2++bn)
【几个重要不等式(二)柯西不等式】相关文章：
★ 数学模型基础知识
★ 应用题
[标签：不等式,,]
2019全国高考志愿填报攻略 第50集 天津市高考历史三年本科录取排名
amc传媒音乐影像 第一季 第600集 高中校长演唱《记忆花园》为高考学子助力打气
张雪峰高考志愿填报指南 第28集 高考志愿分析，材料科学与工程专业，就业很一般，建议慎重选择
高考前必听的5首励志歌曲，《Dream it possible》最能鼓舞人心！
视频|2019全国高考今日开考: 语文特级教师评析上海卷高考作文
探秘历史 第二季 第233集 考英语用来睡觉，结果仍是高考状元，如今她怎么样了？
高中语文知识清单高考语文总複习工具书第5次修订五全綵版五三曲一线科学备考基础知识手册知识大集结资料书参考书导书高一高二高三
沈阳音乐学院郎亦农教授的女高音高考曲目解析课程 第9集 《赛吾里麦》演唱讲解，音乐表现一定要自然流畅
高考体育四项生的日常训练——深蹲移动跳：发展膝关节，踝关节力量。
葛军大爷怒了：高考我出了个小学数学送分题，你们跟我说不会做？
