来自:查字典高考网 2009-08-29
竞赛讲座01
-奇数和偶数
整数中,能被2整除的数是偶数,反之是奇数,偶数可用2k表示 ,奇数可用2k+1表示,这里k是整数.
关于奇数和偶数,有下面的性质:
(1)奇数不会同时是偶数;两个连续整数中必是一个奇数一个偶数;
(2)奇数个奇数和是奇数;偶数个奇数的和是偶数;任意多个偶数的和是偶数;
(3)两个奇(偶)数的差是偶数;一个偶数与一个奇数的差是奇数;
(4)若a、b为整数,则a+b与a-b有相同的奇数偶;
(5)n个奇数的乘积是奇数,n个偶数的乘积是2n的倍数;顺式中有一个是偶数,则乘积是偶数.
以上性质简单明了,解题时如果能巧妙应用,常常可以出奇制胜.
1.代数式中的奇偶问题
例1(第2届华罗庚金杯决赛题)下列每个算式中,最少有一个奇数,一个偶数,那么这12个整数中,至少有几个偶数?
□+□=□, □-□=□,
□□=□ □□=□.
解 因为加法和减法算式中至少各有一个偶数,乘法和除法算式中至少各有二个偶数,故这12个整数中至少有六个偶数.
例2 (第1届祖冲之杯数学邀请赛)已知n是偶数,m是奇数,方程组
是整数,那么
(A)p、q都是偶数. (B)p、q都是奇数.
(C)p是偶数,q是奇数 (D)p是奇数,q是偶数
分析 由于1988y是偶数,由第一方程知p=x=n+1988y,所以p是偶数,将其代入第二方程中,于是11x也为偶数,从而27y=m-11x为奇数,所以是y=q奇数,应选(C)
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